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1 Solution du problème:

Figure 1: Equilibre d'une facette
\resizebox*{!}{5cm}{\includegraphics{facette_isolee.eps}}

Isolons une facette orientée par le vecteur \( \overrightarrow{n} \) autour du point M (Figure 1):

\( \overrightarrow{T\left( M,-\overrightarrow{n}\right) }-p\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0} \) soit \( \overrightarrow{T\left( M,\overrightarrow{n}\right) }=-p\overrightarrow{n} \) soit encore \( \underline{\underline{\sigma }}\left( M\right) \overrightarrow{n}=-p\overrightarrow{n} \).

\( \overrightarrow{n} \) est donc une direction principale de \( \underline{\underline{\sigma }}\left( M\right) \) et la contrainte principale associée est \( \sigma _{I}=-p \).

En supposant connue la valeur de \( \tau \), on peut tracer le cercle de Mohr(Figure 2):

MI est le point du cercle correspondant à la normale \( \overrightarrow{n} \)

Le point M du cercle pour la normale \( \overrightarrow{y} \) est le point de coordonnées \( \left( -q,\tau \right) \), l'angle \( \beta =\left( \widehat{\overrightarrow{n},\overrightarrow{y}}\right) \) se reporte dans le cercle de Mohr en \( \left( \widehat{M_{I}CM}\right) =-2\beta \).

Figure 2: Cercle de Mohr
\resizebox*{!}{5cm}{\includegraphics{digue1.eps}}

Le triangle MICM est isocèle en C et nous avons donc \( -\gamma =\left( \widehat{CMM_{I}}\right) =\left( \widehat{MM_{I}C}\right) \), avec \( -2\beta -2\gamma =-\Pi \). Soit \( \gamma =\frac{\Pi }{2}-\beta =\alpha \) \( \left( \right) \)

L'angle \( \alpha \) peut être alors représenté (Figure 3)et les relations de trigonométrie dans le triangle PQM donnent:

Figure: Repésentation de l'angle \( \alpha \)
\resizebox*{!}{5cm}{\includegraphics{digue2.eps}}

\( \tan \left( -\alpha \right) =\frac{\tau }{p-q} \) soit

\begin{displaymath}
\tau =\left( p-q\right) \tan \alpha \end{displaymath}

Figure 4: Calcul de \( \sigma _{II}\)
\resizebox*{!}{5cm}{\includegraphics{digue3.eps}}

les relations dans le triangle PQM sur la figure 3, donnent également :


\begin{displaymath}
\cos \alpha =\frac{p-q}{\delta }\end{displaymath}

dans le triangle \( P\sigma _{II}M \) représenté sur la figure 4 on a :


\begin{displaymath}
\cos \alpha =\frac{\delta }{p-\sigma _{II}}\end{displaymath}

on en tire: \( \delta =\frac{p-q}{\cos \alpha }=\cos \alpha \left( p-\sigma _{II}\right) \) soit: \( \sigma _{II}=p-\frac{p-q}{\cos ^{2}\alpha } \)


\begin{displaymath}
\sigma _{II}=\frac{q}{\cos ^{2}\alpha }-p\tan ^{2}\alpha \end{displaymath}


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La Borderie 2002-09-30