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Cercle de Mohr: Correction de l'exercice

  1. Le centre du cercle est à un point d'abscisse \( \sigma _{c=}\frac{Tr(\sigma )}{2}=-1,5MPa \)
    Pour une facette orientée par le vecteur \( \overrightarrow{y} \) on a : \( \sigma _{y}=0 \) et \( \tau _{y}=-\tau \)
    On peut donc tracer le cercle:

    Figure 1: Cercle de Mohr
    \resizebox*{!}{8cm}{\includegraphics{mohr1.eps}}

  2. Le rayon du cercle est \( R=\sqrt{\sigma ^{2}_{c}+\tau ^{2}}=2,5MPa \) et \( \sigma _{I}=\sigma _{c}+R=1MPa \), \( \sigma _{II}=\sigma _{c}-R=-4MPa \)
    Sur le cercle de Mohr, l'angle entre \( \overrightarrow{x} \) et \( \overrightarrow{X_{II}} \) est
    \( \Theta _{x}=\arctan \frac{-2\tau }{\sigma }=\arctan \frac{4}{3}=53,13^{o} \)
    L'angle entre \( \overrightarrow{x} \) et \( \overrightarrow{X_{II}} \) est dans la réalité : \( \alpha _{x}=-\frac{\Theta _{x}}{2}=-26,56^{o} \)

    Figure 2: Directions
    \resizebox*{!}{8cm}{\includegraphics{directions.eps}}

  3. La contrainte de cisaillement maximale est \( \tau _{max}=R=2,5MPa \), elle est obtenue pour une facette orientée par le vecteur \( \overrightarrow{u} \) tel que l'angle entre \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{x} \) soit \( \Theta \) sur le cercle de Mohr avec \( \Theta +\Theta _{x}=90^{o} \) soit \( \Theta =53,13^{o} \)
    l'angle entre \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{x} \) est dans la réalité : \( \alpha =-\frac{\Theta }{2}=-36,87^{o} \)
    On vérifie par ailleurs que le vecteur \( \overrightarrow{u} \) fait un angle de 45 \ensuremath{°} avec les directions principales.
  4. L'angle entre \( \overrightarrow{x} \) et \( \overrightarrow{n} \) est dans la réalité: \( \alpha _{n}=\Pi /6 \), sur le cercle de Mohr, on a \( \Theta _{n}=-2\alpha _{n}=-\Pi /3 \).
    Si on pose: \( \Theta _{2}=\Pi -\Pi /3-\Theta _{x}=180-60-53,13^{o}=66,87^{o} \), on a : \( \sigma _{n}=\sigma _{c}+R\cos \Theta _{2}=-0,518MPa \) et \( \tau _{n}=R\sin \Theta _{2}=2.299MPa \)

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Cercle de Mohr: Correction de l'exercice

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Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.

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