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Subsections

Correction:

Position du centre de gravité de la section:

En décomposant la section en deux parties \( \Sigma _{1} \)et \( \Sigma _{2} \), on a (figure 2):

\( \overrightarrow{OG_{1}}=\left( a+\frac{b}{2}\right) \overrightarrow{Y}=\frac{7a}{6}\overrightarrow{Y} \) , \( \overrightarrow{OG_{2}}=\frac{a}{2}\overrightarrow{Y} \) et \( 2ab\overrightarrow{OG}=ab\overrightarrow{OG_{1}}+ab\overrightarrow{OG_{2}} \)

nous avons donc \( \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OG_{1}}+\overrightarrow{OG_{2}}}{2} \) soit G est au milieu de G1G2

\( \overrightarrow{OG}=\frac{5a}{6}\overrightarrow{Y} \)

Figure 2:
\resizebox*{!}{4cm}{\includegraphics{cisail2.eps}}

Inertie de section:

L'inertie IGZ au point G de la section \( \Sigma \) est égale à la somme des inerties au point G des sections \( \Sigma _{1} \) et \( \Sigma _{2} \): IGZ=I1GZ+I2GZ

D'autre part en utilisant le théorème de Huygens on obtient:

IiGZ=IiGiZ+Aid2i où di est la distance entre Gi et G. (i=1,2)

d1=d2=a/3 , \( A_{1}=A_{2}=\frac{a^{2}}{3} \), \( I_{1G_{1}Z}=\frac{ba^{3}}{12}=\frac{a^{4}}{36} \) et \( I_{2G_{2}Z}=\frac{ab^{3}}{12}=\frac{a^{4}}{324} \)

on a donc : \( I_{GZ}=\frac{a^{4}}{36}+\frac{a^{2}}{3}\frac{a^{2}}{9}+\frac{a^{4}}{324}+\frac{a^{2}}{3}\frac{a^{2}}{9}=a^{4}\left( \frac{10}{324}+\frac{2}{27}\right) \)

\( I_{GZ}=1,05\: 10^{-5} \)

Figure: Centre de gravité.
\resizebox*{!}{4cm}{\includegraphics{cisail3.eps}}

Moment statique:

Les ordonnées doivent obligatoirement être prises à partir du centre de gravité.

\( S^{*}\left( y_{0}\right) =\int ^{h^{+}}_{y_{0}}yb\left( y\right) dy \) où la fonction \( b\left( y\right) \) est définie par:

\( \left\{ \begin{array}{l} y>a/6\rightarrow b(y)=a\\ y<a/6\rightarrow b(y)=a/3 \end{array}\right. \)

pour \( y_{0}>a/6\protect \):

\( S_{1}^{*}\left( y_{0}\right) =\int ^{a/2}_{y_{0}}yady=\frac{a}{8}\left( a^{2}-4y^{2}_{0}\right) \protect \)

pour \( y_{0}<a/6\protect \):

\( S_{2}^{*}\left( y_{0}\right) =\int ^{a/2}_{y_{0}}yb(y)dy=\int ^{a/6}_{y_{0}}y... ...y=\frac{a}{6}\left( \frac{a^{2}}{36}-y^{2}_{0}\right) +S^{*}_{1}(a/6)\protect \)

\( S^{*}_{2}(y_{0})=\frac{a}{216}\left( a^{2}-36y^{2}_{0}\right) +\frac{a^{3}}{9} \)

Le moment statique est tracé sur la figure 4

Figure: \( S^{*}(y)\protect \)
\resizebox*{!}{6cm}{\includegraphics{setoil.eps}}

Calcul de la contrainte de cisaillement:

\( \sigma _{xy}(y_{0})=\frac{S^{*}(y_{0})V_{y}}{I_{Gz}b(y_{0})} \) cette fonction est donc discontinue aux mêmes points que la fonction b(y0). La contrainte de cisaillement est tracée sur la figure 5

Figure 5: \( \sigma _{xy}/V_{y}\)
\resizebox*{!}{6cm}{\includegraphics{sigxy.eps}}

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La Borderie 2002-10-07