1 Rappels sur la notion de contrainte:

Signification:

Les contraintes représentent les efforts de cohésion dans un solide qui permettent à la matière à résister aux sollicitations.

Les contraintes sont issues d'interaction entre des petites parties de la matière (cristaux, molecules ... etc ...).

L'équivalent de la contrainte pour un fluide parfait est la pression.

Définition:

Soit un corps sollicité par un ensemble d'actions mécaniques et en équilibre dans un référentiel. Toute partie de est en équilibre.

Si on coupe par un plan cd mormale passant par le point P, les deux parties située du côté de la normale et située du côté opposé, sont en équilibre.

est en équilibre sous l'effet:

• Des efforts qui lui sont exercés.
• De la contrainte exercée en tout point P du plan de coupure.

est la densité surfacique des efforts exercés par sur

Remarques:

Le vecteur contrainte est homogène à un effort par unité de surface ou une pression, il s'exprime en Pascals.

$$1Pa=1N/m^{2},\; 1MPa=10^{6}Pa,\; 1kPa=10^{3}Pa,\; 1GPa=10^{9}Pa$$

Il existe aussi des unités plus exotiques:

$$1T/m^{2}\simeq 10kPa,\; 1kg/cm^{2}\simeq 100kPa,\; 1bar=100kPa,\; 1PSI\simeq 6,9MPa$$

L'emploi de ces unités est vivement déconseillé.

Si en un point P on effectue deux plans de coupure de normales et , on obtient deux vecteurs contraintes et qui sont à priori différents.

En deux points P et Q d'un même plan de coupure de normale on obtient deux vecteurs contraintes et qui sont à priori différents.

Le torseur résultant des actions de sur pour un plan de coupure de normale est :

Projections du vecteur contrainte:

1.0.0.1 Contraintes normales et tangentielles:

Le vecteur contrainte se décompose en une contrainte normale et une contrainte tangentielle

On peut écrire:

• La contrainte normale est un nombre.
• La contrainte tangentielle est un vecteur.

Dans le cas d'un hypothèse de calcul plan (plan normal à l'axe ) nous pouvons projeter lae vecteur contrainte sur les vecteur et :

Dans ce cas les contraintes normales et tangentielles sont des nombres.

1.0.0.2 Projection sur des vecteurs de base:

Soit une base (orthonormée directe tant qu'à faire), on nomme les projections des vecteurs contraintes de la manière suivante:

Tenseur des contraintes:

Soit , l'application définie au point P qui à une normale associe le vecteur des contraintes .

est une application linéaire représenté par une matrice dans la base :

On montre que est symétrique ( ), elle est donc diagonalisable. Les valeurs propres de sont les contraintes principales, les vecteurs propres forment le repère principal des contraintes.