2 Cercle de Mohr

Soient et ( )les contraintes principales, et les vecteurs propres associés, alors pour toute orientation de facette la contrainte normale et la contrainte tangentielle se trouvent sur un cercle appelé cercle de Mohr.

Figure 1: Cercle de Mohr

• Le centre du cercle C est situé sur l'axe des contraintes normales à l'abscisse
  
  $$\sigma _{c}=\frac{\sigma _{I}+\sigma _{II}}{2}=\frac{Tr\left( \overline{\overline{\sigma }}\right) }{2}$$
  
  

• On peut tracer le cercle si on connaît un point quelconque du cercle, c'est à dire la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une normale particulière.
• La contrainte tangentielle maximale est
  
  $$\tau _{max}=\frac{\sigma _{I}-\sigma _{II}}{2}$$
  
  

• Les angles partant du centre du cercle de Mohr sont égaux aux angles réels multipliés par -2.

Exercice:

On donne :

$$\overline{\overline{\sigma }}\left[ \begin{array}{cc} \sigma... ...\right] _{\left( \overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right) }$$

avec et

1. Tracer le cercle de Mohr
2. Calculer les contraintes principales et indiquer les orientation des directions principales de la contrainte.
3. Calculer la valeur de la contrainte de cisaillement maximale et l'orientation de la facette correspondante.
4. Trouver la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une facette orientée par le vecteur

Résolution:

1. Le centre du cercle est à un point d'abscisse
   Pour une facette orientée par le vecteur on a : et
   On peut donc tracer le cercle:
   

   Figure 2: Cercle de Mohr

   

2. Le rayon du cercle est et ,
   Sur le cercle de Mohr, l'angle entre et est
   L'angle entre et est dans la réalité :
   

   Figure 3: Directions

3. La contrainte de cisaillement maximale est , elle est obtenue pour une facette orientée par le vecteur tel que l'angle entre et soit sur le cercle de Mohr avec soit
   l'angle entre et est dans la réalité :
4. L'angle entre et est dans la réalité: , sur le cercle de Mohr, on a .
   Si on pose: , on a : et