1 Solution du problème:

Figure 1: Equilibre d'une facette

Isolons une facette orientée par le vecteur autour du point M (Figure 1):

soit soit encore .

est donc une direction principale de et la contrainte principale associée est .

En supposant connue la valeur de , on peut tracer le cercle de Mohr(Figure 2):

M_I est le point du cercle correspondant à la normale

Le point M du cercle pour la normale est le point de coordonnées , l'angle se reporte dans le cercle de Mohr en .

Figure 2: Cercle de Mohr

Le triangle M_ICM est isocèle en C et nous avons donc , avec . Soit

L'angle peut être alors représenté (Figure 3)et les relations de trigonométrie dans le triangle PQM donnent:

Figure: Repésentation de l'angle

soit

$$\tau =\left( p-q\right) \tan \alpha$$

Figure 4: Calcul de

les relations dans le triangle PQM sur la figure 3, donnent également :

$$\cos \alpha =\frac{p-q}{\delta }$$

dans le triangle représenté sur la figure 4 on a :

$$\cos \alpha =\frac{\delta }{p-\sigma _{II}}$$

on en tire: soit:

$$\sigma _{II}=\frac{q}{\cos ^{2}\alpha }-p\tan ^{2}\alpha$$